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这里给出一些线性分数变换(Linear Fractional Transformations)的结论性描述,以方便对Klein Group的可视化。线性分数变换是黎曼几何中非常重要的一种变换,它相当于欧氏空间中的线性变换。莫比乌斯曾经对它进行过系统研究并得出了许多非常有用的结论,所以又被叫做莫比乌斯变换(Mobius Transformations)。
1、代数方程
定义变换T: z -> (az + b) / (cz + d)为一个线性分数变换,其中a、b、c、d、z均为复数且ad - bc != 0。对于变换T可以马上得到以下两个结论:T(∞)= a / c以及T(-d / c) =∞。如果把T写成矩阵形式则为:
令 D = ad - bc,叫做上面这个矩阵的determinant。其逆矩阵为:
| d/D -b/D |
| |
| -c/D a/D |
它相当于对矩阵的每个数乘上了一个系数 t = 1 / D,如果D为1的话,则t = 1,逆矩阵就只当不存在系数t了。我们从任意的正变换矩阵开始,求出D值,然后用t = 1 / sqrt(D)作为系数乘上该矩阵,这样得到的新矩阵就有一个D = 1的determinant。也就是说,如果:
| a b |
T= | | (其中, D = 1)
| c d |
则其逆可以表示为
| d -b |
T= | | (同样, D = 1)
| -c a |
由于有一个D = 1的方程了,所以,另外再给三个方程便可以唯一确定一个Mobius变换。也就是说,如果知道了三个不同点的变换结果,变换T就可以解出来。
当有一系列的变换放在一起并且满足下面两个条件的时候,我们可以得到群的概念:
a) 如果S和T属于这个群,则ST也属于这个群;
b) 如果S属于这个群,则S-1也属于这个群。
可以得出一个结论,Mobius变换集合是一个群。
我在开头就说过,Mobius变换在黎曼几何中的地位相当于欧氏几何中的线性变换。所以,很多地方存在相似之处和相通之处。Mobius变换美丽的地方在于它把圆映射到另一个圆,进入的原料是圆或直线,出来的结果也是圆或直线。
Mobius变换还是保角变换,也就是说,变换之前的角度在变换后保持不变。或者更进一步,Mobius具有保持方向的特性。
再者是Mobius变换的不动点,求解方程T(z) = z便可以得出来,它实际上是一个一员二次方程,通常会有两个解,不过这两个解有可能会重合为一个。当D = 1时:
z = { a - d± sqrt[(a + d)^2 + 4] } / 2c
把a + d叫做T的trace,并标记为TrT。在欧氏几何中,线性变换通常有三类:translation、rotation、scaling,而Mobius变换也同样有对应的三类:parabolic、elliptic、loxodromic。当系数是实数时候的loxodromic变换也被叫做hyperbolic变换。这里的TrT = a + d就可以看出变换的类别。
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