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重心坐标

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数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。

设 v1, ..., vn 是向量空间 V 中一个单形的顶点，如果 V 中某点 p 满足，

(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)\, p = \lambda_1 \, v_1 + \cdots +\lambda_n \, v_n ,

那么我们称系数 (λ1, ..., λn) 是 p 关于 v1, ..., vn 的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是 (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的 k，(k λ1, ..., k λn) 也是 p 的重心坐标。但总可以取坐标满足 λ1 + ...+ λn = 1，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。

如果坐标分量都非负，则 p 在 v1, ..., vn 的凸包内部，即由这些顶点组成的单形包含 p。我们设想如果有质量 λ1, ..., λn 分别位于单形的顶点，那么质量中心就是 p。这是术语“重心”的起源，1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。

三角形的重心坐标

Areal coordinates.png

在三角形情形，重心坐标也叫面积坐AP:PC 标，因为 P 点关于三角形 ABC 的重心坐标和三角形 PBC, PCA 及 PAB 的（有向）面积成比例，证明如下（图如右）。

我们用黑体小写字母表示对应点的向量，比如三角形 ABC 顶点为 \textbf{a}\, ,\textbf{b}\, 和 \textbf{c}\,，P 点为 \textbf{p} 等。设 PBC, PCA 及 PAB 面积之比为 \lambda_1:\lambda_2:\lambda_3\, 且 λ1 + λ2 + λ3 = 1，设射线 AP 与 BC 交于 D，则

BD:DC = λ2:λ3, 从而 \textbf{d}= \frac{\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c}}{\lambda_2+\lambda_3},
AP:PD = (λ2 + λ3):λ1，故
\textbf{p}=\frac{(\lambda_2+\lambda_3) \textbf{d} +\lambda_1 \textbf{a}}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\,,
\textbf{p}=\lambda_1 \textbf{a}+\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c}\, .

所以，(λ1,λ2,λ3) 就是 P 的重心坐标。

坐标变换

给定三角形平面一点 P，我们将这一点的面积坐标 \lambda_{1}\,，\lambda_{2}\, 和 \lambda_{3}\, 用笛卡尔坐标表示出来。

利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式：

S(ABC)=\begin{vmatrix}1 &x_a&y_a\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}

我们可得：

\lambda_1=S(PBC)/S(ABC)=\begin{vmatrix}1 &x_p&y_p\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}/ \begin{vmatrix}1 &x_a&y_a\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}

类似地有 λ2,λ3，注意 ABC 构成一个三角形，上式的分母不可能为 0。

反过来则简单得多：

\textbf{p}=\lambda_1 \textbf{a}+\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c} , 故
xp = λ1xa + λ2xb + λ3xc, 和
yp = λ1ya + λ2yb + λ3yc.

判断一点的位置

因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换，从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部，那么所有重心坐标属于开区间 (0,1)；如果一点在三角形的边上，至少有一个面积坐标 λ1...3 为 0，其余分量位于闭区间 [0,1]。如果有某个坐标小于 0，则位于三角形外部，具体分布可参考上图。

应用

面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用，经常可以化简解析积分求值，高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。

考虑由顶点 \textbf{v}_{1}\,, \textbf{v}_{2}\, 和 \textbf{v}_{3}\, 定义的三角形 T，任何在三角形内部的点 \textbf{p} 都能写成顶点的加权和：

\textbf{p} = \lambda_{1} \textbf{v}_{1} + \lambda_{2} \textbf{v}_{2} + \lambda_{3} \textbf{v}_{3},

这里 \lambda_{1}\,、\lambda_{2}\, 和 \lambda_{3}\, 是面积坐标。注意到 \lambda_{3} = 1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}\,。 从而，函数 f 在 T 上的积分为：

\int_{T} f(\textbf{p}) \ ds = 2S \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - \lambda_{2}} f(\lambda_{1} \textbf{v}_{1} + \lambda_{2} \textbf{v}_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) \textbf{v}_{3}) \ d\lambda_{1} \ d\lambda_{2} \,

这里 S 是三角形 T 的面积。注意上式具有线性插值的形式。

重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法，假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果 0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \in {1,2,3}，则点 \textbf{p} 位于三角形内部或边界上。我们取 f 的插值为

f(\textbf{p}) = \lambda_1 f(\textbf{v}_1) + \lambda_2 f(\textbf{v}_2) + \lambda_3 f(\textbf{v}_3) ,

这个线性插值是自动正规的因为 λ1 + λ2 + λ3 = 1。

四面体的重心坐标

重心坐标容易推广到三维空间。3 维单形即四面体，具有四个三角形面和四个顶点。

完全类似于三角形，四面体 \textbf{v}_1,\textbf{v}_2, \textbf{v}_3,\textbf{v}_4 的顶点 \textbf{v}_1的重心坐标为 (1,0,0,0)，\textbf{v}_2 为 (0,1,0,0)，如是等等。

点 \textbf{p} 的笛卡尔坐标和为关于四面体 \textbf{v}_1,\textbf{v}_2, \textbf{v}_3,\textbf{v}_4 的重心坐标的关系：

\lambda_1=\text{Vol}(PV_2V_3V_4)/\text{Vol}(V_1V_2V_3V_4),\;\lambda_2=\cdots.

这里 Vol(V1V2V3V4) 为 \textbf{v}_1,\textbf{v}_2, \textbf{v}_3,\textbf{v}_4 组成的四面体的体积，类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来。

3 维重心坐标和 2 维一样，可以确定一点是否位于四面体内部，也能对四面体网格上函数插值。因为利用重心坐标可以极大地简化 3 维插值，四面体网格经常用于有限元分析。

参考文献

外部链接

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取自“http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%9D%90%E6%A0%87”
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